1、关系代数概述
关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是利用对关系的运算来表达查询的。
任何运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。
在关系代数运算中，有5种基本运算，它们是并（U）、差（—）、投影、选择、笛卡尔积（X），其它运算即交、连接和除，均可通过5种基本的运算来表达 。
运算符：
- 集合运算符
- 将关系看成
元组的集合 - 从关系的“水平”方向即行的角度来进行运算
- 将关系看成
- 专门的关系运算符
- 不仅涉及
行而且涉及列
- 不仅涉及
- 算术比较符
- 辅助专门的关系运算符进行操作
- 逻辑运算符
- 辅助专门的关系运算符进行操作
常见的关系运算符如下：
1.1 传统的集合运算
设关系 R R R和关系 S S S是相容的， t t t代表元组变量，现将各种运算分别介绍如下：
（1）并（Union）
- 关系 R R R与关系 S S S的并记作： R ∪ S = { t ∣ t ∈ R ∨ t ∈ S } R∪S=\{t|t∈R∨t∈S \} R∪S={t∣t∈R∨t∈S}
- 结果关系是由属于 R R R或属于 S S S的元组组成，且结果仍为 n n n目关系，但结果关系要消除重复元组。
举例：
R R R和 S S S
- 具有相同的目 n n n（即两个关系都有n个属性）
- 相应的属性取自同一个域
R ∪ S R∪S R∪S
- 仍为
n
n
n目关系，由属于
R
R
R或属于
S
S
S的元组组成
- R ∪ S = { t ∣ t ∈ R ∨ t ∈ S } R∪S=\{t|t∈R∨t∈S \} R∪S={t∣t∈R∨t∈S}
具体如下图所示：
（2）交（ Intersection）
- 关系 R R R与关系 S S S的交记作： R ∩ S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∈ S } R∩S=\{t|t∈R∧t∈S \} R∩S={t∣t∈R∧t∈S}
- 结果关系由既属于 R R R又属于 S S S的元组组成，且仍为 n n n目关系。
举例：
R R R和 S S S
- 具有相同的目 n n n
- 相应的属性取自同一个域
R ∩ S R∩S R∩S
- 仍为
n
n
n目关系，由既属于
R
R
R又属于
S
S
S的元组组成
- R ∩ S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∈ S } R∩S=\{t|t∈R∧t∈S \} R∩S={t∣t∈R∧t∈S}
具体如下图所示：
（3）差（Difference）
- 关系R与关系S的差记作： R − S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∉ S } R-S=\{t|t∈R ∧t \notin S\} R−S={t∣t∈R∧t∈/S}
- R R R和 S S S的差，结果关系由属于 R R R而不属于 S S S的所有元组组成，且仍为 n n n目关系,即在关系 R R R中减去 R R R和 S S S的相同元组。
举例：
R R R和 S S S
- 具有相同的目 n n n
- 相应的属性取自同一个域
R − S R - S R−S
- 仍为
n
n
n目关系，由属于
R
R
R而不属于
S
S
S的所有元组组成
- R − S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∉ S } R-S=\{t|t∈R ∧t \notin S\} R−S={t∣t∈R∧t∈/S}
（4）广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）
- 两个分别为 n n n目和 m m m目的关系， R R R和 S S S的广义笛卡尔积是一个 ( n + m ) (n+m) (n+m)列的元组的集合。
- 元组的前 n n n列是关系 R R R的一个元组，后 m m m列是关系 S S S的一个元组。若 R R R有 k 1 k_1 k1个元组， S S S有 k 2 k_2 k2个元组，则关系 R R R和关系 S S S的广义笛卡尔积有 k 1 × k 2 k_1×k_2 k1×k2个元组。
- 记作： R × S = { ( a 1 , a 2 , … a m , b 1 , b 2 , … b n ) ∣ ( a 1 , a 2 , … a m ) ∈ R ∧ ( b 1 , b 2 , … b n ) ∈ S } 。 R×S=\{(a_1,a_2,…a_m,b_1,b_2,…b_n)| (a_1,a_2,…a_m) ∈R ∧ (b_1,b_2,…b_n) ∈ S\}。 R×S={(a1,a2,…am,b1,b2,…bn)∣(a1,a2,…am)∈R∧(b1,b2,…bn)∈S}。
严格地讲应该是广义的笛卡尔积
- R R R: n n n目关系， k 1 k_1 k1个元组
- S S S: m m m目关系， k 2 k_2 k2个元组
R × S R×S R×S
-
列: m + n m+n m+n列元组的集合
- 元组的前 n n n列是关系 R R R的一个元组
- 后 m m m列是关系 S S S的一个元组
-
行： k 1 × k 2 k_1×k_2 k1×k2个元组
具体如下图所示：
1.2 专门的关系运算
在讲解之前，我们先引入几个记号，这样有助于下面的理解，确实关系代数后半部分有点难理解。
（1）
R
,
t
∈
R
,
t
[
A
i
]
R,t\in R,t[A_i]
R,t∈R,t[Ai]
设关系模式为
R
(
A
1
，
A
2
，
…
，
A
n
)
R(A_1，A_2，…，A_n)
R(A1，A2，…，An)，它的一个关系设为
R
R
R，
t
∈
R
t\in R
t∈R表示
t
t
t是
R
R
R的一个元组，
t
[
A
i
]
t[A_i]
t[Ai]则表示元组t中相应于属性
A
i
A_i
Ai的一个分量。
（2）
t
r
t
s
⏞
\overbrace{t_rt_s}
trts
，
R
R
R为
n
n
n目关系，
S
S
S为
m
m
m目关系。
t
r
∈
R
，
t
s
∈
S
，
t
r
t
s
⏞
t_r\in R，t_s\in S， \overbrace{t_r t_s}
tr∈R，ts∈S，trts
称为元组的连接。
t
r
t
s
⏞
\overbrace{t_r t_s}
trts
是一个
n
+
m
n + m
n+m列的元组，前
n
n
n个分量为
R
R
R中的一个
n
n
n元组，后
m
m
m个分量为
S
S
S中的一个
m
m
m元组。
（3）象集
Z
x
Z_x
Zx
给定一个关系
R
（
X
,
Z
）
R（X,Z）
R（X,Z），
X
X
X和
Z
Z
Z为属性组。当
t
[
X
]
=
x
t[X]=x
t[X]=x时，
x
x
x在
R
R
R中的象集（Images Set）为：
Z
x
=
t
[
Z
]
∣
t
∈
R
，
t
[
X
]
=
x
Z_x={t[Z]|t \in R，t[X]=x}
Zx=t[Z]∣t∈R，t[X]=x
它表示 R R R中属性组 X X X上值为 x x x的诸元组在 Z Z Z上分量的集合。
举例如下：
上面抽象的例子可能并不是特别容易理解，那么我们就拿生活中的实际例子进行解释：
学生-课程-选修关系:
学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC
在上面的关系表中，我们可以把SC表看作一个关系R，它的属性组为学号，课程号以及成绩，即
R
(
S
n
o
,
C
n
o
,
G
r
a
d
e
)
R(Sno, ***o, Grade)
R(Sno,Cno,Grade)。这时我们将SC表与上面那个例子对比可以看出，Sno为200215121的学号在关系R（SC表）中的象集为
S
n
o
200215121
=
{
1
，
2
，
3
}
Sno_{200215121}=\{1，2，3\}
Sno200215121={1，2，3}，以此类推，这样就比较容易理解一点。
1.2.1 选择运算
- 选择又称为限制
- 选择运算符的含义
- 关系R上的选择操作是根据某些条件对关系R做水平分割，即从行的角度选择符合条件的元组。
- 在关系R中选择满足给定条件的诸元组
- 记作： σ F （ R ） = { t ∣ t ∈ R ∧ F ( t ) = ‘真’ } σF（R）=\{t|t∈R∧F(t)=‘真’\} σF（R）={t∣t∈R∧F(t)=‘真’}
- F：选择条件，是一个逻辑表达式，取逻辑值“真”或“假”。
- 选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算
F：选择条件，是一个逻辑表达式
- 基本形式为： X 1 θ Y 1 X_1θY_1 X1θY1
- θ θ θ：比较运算符 （＞， ≥ ，＜， ≤ ，＝或 < > ） （＞，≥，＜，≤，＝或<>） （＞，≥，＜，≤，＝或<>）
- X 1 ， Y 1 X_1，Y_1 X1，Y1：属性名、常量、简单函数.
- 属性名也可以用它的序号来代替；
以最上面的学生-课程-选修关系表举例说明更好理解：
[例1] 查询信息系（IS系）全体学生
σ S d e p t = ′ I S ′ ( S t u d e n t ) 或 σ 5 = ′ I S ′ ( S t u d e n t ) σ_{Sdept} = 'IS' (Student) 或 σ_5 ='IS'(Student) σSdept=′IS′(Student)或σ5=′IS′(Student)
结果：
[例2] 查询年龄小于20岁的学生
σ
S
a
g
e
<
20
(
S
t
u
d
e
n
t
)
或
σ
4
<
20
(
S
t
u
d
e
n
t
)
σ_{Sage< 20}(Student) 或 σ_{4 < 20}(Student)
σSage<20(Student)或σ4<20(Student)
结果：
1.2.2 投影（Projection）
投影运算符的含义：
- 从R中选择出若干属性列组成新的关系
- π A ( R ) = t [ A ] ∣ t ∈ R π_A(R) = { t[A] | t \in R } πA(R)=t[A]∣t∈R
- A：R中的属性列
投影操作主要是从列的角度进行运算：
但投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）
举例说明一下：
[例3] 查询学生的姓名和所在系
即求Student关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影
π S n a m e ， S d e p t ( S t u d e n t ) 或 π 2 ， 5 ( S t u d e n t ) π_{Sname，Sdept}(Student) 或 π_{2，5}(Student) πSname，Sdept(Student)或π2，5(Student)
结果：
[例4] 查询学生关系Student中都有哪些系
π S d e p t ( S t u d e n t ) π_{Sdept}(Student) πSdept(Student)
结果：
由此可见，使用投影操作可以将关系表中的列单独拿出来组成新的关系表，这样方便我们可以更加清楚的查看自己想要的信息。
1.2.3 连接（Join）
连接也称为 θ θ θ连接
连接运算的含义：
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
连接运算从
R
和
S
R和S
R和S的广义笛卡尔积
R
×
S
R×S
R×S中选取（
R
R
R关系）在
A
A
A属性组上的值与（
S
S
S关系）在
B
B
B属性组上值满足比较关系
θ
θ
θ的元组
举例说明一下：
[例5]关系R和关系S 如下所示：
1.2.4 两类常用连接运算
（1）等值连接（equijoin）
- 什么是等值连接?
- θ为“＝”的连接运算称为等值连接
- 等值连接的含义
- 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的
那些元组，即等值连接为：
举例说明：
- 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的
（2）自然连接（Natural join）
- 自然连接是一种特殊的等值连接
- 两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组
- 在结果中把重复的属性列去掉
- 自然连接的含义
- R和S具有相同的属性组B
举例：
一般的连接操作是从行的角度进行运算。
自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。
1.2.5 除（Division）
给定关系 R ( X ， Y ) R (X，Y) R(X，Y)和 S ( Y ， Z ) S (Y，Z) S(Y，Z)，其中 X ， Y ， Z X，Y，Z X，Y，Z为属性组。 R R R中的 Y Y Y与 S S S中的 Y Y Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。 R R R与 S S S的除运算得到一个新的关系 P ( X ) P(X) P(X)， P P P是 R R R中满足下列条件的元组在 X X X 属性列上的投影：
元组在
X
X
X上分量值
x
x
x的象集
Y
x
Y_x
Yx包含
S
S
S在
Y
Y
Y上投影的集合，记作：
关于象集的概念我们在前面已经提到了，在此直接举例子说明除：
[例6]设关系 R 、 S R、S R、S分别为下图的(a)和(b)， R ÷ S R÷S R÷S的结果为图©
通过上面的结果我们可以发现，关系 R R R中的 B 、 C B、C B、C属性组，和关系 S S S中的 B 、 C B、C B、C属性组的域都是相同的， R 与 S R与S R与S的除运算得到了一个新的关系，我们将它当做 P ( A ) P(A) P(A)， P P P是 R R R中满足上述条件的元组在 A A A属性列中的投影。
分析：
设关系
R
，
S
R，S
R，S,分别为例6中的(a)和(b)，
R
÷
S
R÷S
R÷S的结果为图©,关系
R
R
R中
A
A
A可以取四个值
{
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
}
,
\{ a_1，a_2，a_3，a_4\},
{a1，a2，a3，a4}, 其中：
- a 1 a_1 a1的象集为 { （ b 1 ， c 2 ） , （ b 2 ， c 1 ），（ b 2 ， c 3 ） } \{（b_1，c_2）,（b_2，c_1），（b_2，c_3）\} {（b1，c2）,（b2，c1），（b2，c3）}
- a 2 a_2 a2的象集为 { （ b 3 ， c 7 ） , （ b 2 ， C 3 ） } \{（b_3，c_7）,（b_2，C_3）\} {（b3，c7）,（b2，C3）}
- a 3 a_3 a3的象集为 { ( b 4 ， c 6 ) } \{ (b_4，c_6) \} {(b4，c6)}
- a 4 a_4 a4的象集为 { （ b 6 ， c 6 ） } \{（b_6，c_6）\} {（b6，c6）}
S S S在 （ B ， C ） （B，C） （B，C）上的投影为 { （ b 1 ， c 2 ），（ b 2 ， c 1 ） , （ b 2 ， c 3 ） } \{（b_1，c_2），（b_2，c_1）,（b_2，c_3）\} {（b1，c2），（b2，c1）,（b2，c3）}
显然只有 a 1 a_1 a1的象集包含了 S S S在 ( B , C ) (B,C) (B,C)属性组上的投影，所以 R ÷ S = { a 1 } R÷S=\{a1\} R÷S={a1}。
除操作是同时从行和列角度进行运算
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